Question

7．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
（I）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据这500个数据的频率分布直方图，利用组中值求出这批日光灯管的平均寿命；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（I）根据这500个数据的频率分布直方图，这批日光灯管的平均寿命为50×0.05+150×0.1+250×0.15+350×0.3+450×0.15+550×0.2+650×0.05=392.5天；
（Ⅱ）X的所有取值为0，1，2，3，4．
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，
从本批次灯泡中购买4个，X表示4个灯泡中次品的个数，则X～B（4，0.25），
∴P（X=0）=C₄⁰×（1-0.25）⁴=$\frac{81}{256}$，
P（X=1）=C₄¹×0.25×（1-0.25）³=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=C₄²×0.25²×（1-0.25）²=$\frac{54}{256}$，
P（X=3）=C₄³×0.25³×（1-0.25）=$\frac{12}{256}$
P（X=4）=C₄⁴×0.25⁴×（1-0.25）⁰=$\frac{1}{256}$
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{1}{256}$

X的数学期望E（X）=0×$\frac{81}{256}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．