题目内容
19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，设点O为坐标原点，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线1与曲线C相交于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与抛物线方程联立化为x2-4x-4=0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=2x1x2+（x1+x2）+1即可得出．
解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （参数t∈R），消去参数t可得：y=x+1．
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，化为直角坐标方程：x2=4y．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x2-4x-4=0，
∴x1+x2=4，x1x2=-4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+1）（x2+1）=2x1x2+（x1+x2）+1=2×（-4）+4+1=-3．
点评 本题考查了数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
同步练习强化拓展系列答案| A． | $2＜x＜2\sqrt{2}$ | B． | $x＜2\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{2}＜x＜2$ | D． | 0＜x＜2 |
如图所示，多面体A1B1D1DCBA是长方体A1B1C1D-ABCD被平面B1CD1截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B1D1的中点，过A1、D、M的平面交CD1于点N．
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．
