Question

18．已知圆M的方程：x²+（y-2）²=1，直线l方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P做圆M的切线PA，PB，切点A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标．
（2）求四边形PAMB的面积的最小值与周长的最小值．
（3）求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题可知MP=2，M（0，2），由此可求点P的坐标；
（2）求出四边形PAMB的面积和周长，由勾股定理和过M作MP'垂直于直线时，可得最短距离为d，即有最小值；
（3）利用向量的数量积公式，计算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，结合切线长公式，利用配方法，即可求得最小值．

解答 解：（1）设P（2m，m），
由题可知MP=2，M（0，2），
所以（2m）²+（m-2）²=4，
解之得m=0或m=$\frac{4}{5}$．
故所求点P的坐标为P（0，0）或（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）；
（2）四边形PAMB的面积为S=$\frac{1}{2}$PA•AM+$\frac{1}{2}$PB•BM=PA，
PA²=PM²-1，当PM最小时，PA最小．
过M作MP'垂直于直线时，最短距离为d=$\frac{|0-2×2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
即有面积最小为P'A=$\frac{\sqrt{55}}{5}$；
周长为PA+PB+AM+BM=2PA+2，
即有周长的最小值为2+$\frac{2\sqrt{55}}{5}$；
（3）设P（2m，m），则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|²cos∠APB，
又|$\overrightarrow{PA}$|²=PM²-1，cos∠APB=1-$\frac{2}{P{M}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=PM²+$\frac{2}{P{M}^{2}}$-3
又PM²=（2m）²+（m-2）²=5m²-4m+4∈[$\frac{16}{5}$，+∞），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（PM-$\frac{\sqrt{2}}{PM}$）²+2$\sqrt{2}$-3∈[$\frac{33}{40}$，+∞），
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为$\frac{33}{40}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．