题目内容

13．平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且右焦点F2的坐标为（$\sqrt{3}$，0），点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2．
（1）当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程；
（2）若过点P的直线l：y=x+m交（1）中的曲线E于A，B两点，求△ABQ面积的最大值．

分析 （Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标和点在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（1）设P（2cosθ，sinθ），则Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，由此能求出当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得5x2+8mx+4m2-16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出△ABQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵F1、F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
且右焦点F2的坐标为（$\sqrt{3}$，0），点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
（Ⅱ）（1）∵在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且$\frac{|OQ|}{|OP|}$=2，
∴设P（2cosθ，sinθ），则Q（4cosθ，2sinθ），0≤θ＜2π，
∴当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程：
$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴点E的直角坐标方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得5x2+8mx+4m2-16=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-16}{5}$，
△=64m2-80m2+320＞0，解得-2$\sqrt{5}＜m＜2\sqrt{5}$，
|AB|=$\sqrt{2[（-\frac{8m}{5}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-16}{5}]}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10-{m}^{2}}$，
设Q到直线y=x+m的距离d=$\frac{|{x}_{Q}-{y}_{Q}+m|}{\sqrt{2}}$，
∵xQ=2xP，yQ=2yP，=2（xP+m），
则$\frac{|2{x}_{P}-2{x}_{P}-2m+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x2+8mx+4m2-4=0，
△=80-16m2≥0，即m2≤5，
∴${S}_{△ABQ}=\frac{1}{2}d•|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{|m|}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{320-16{m}^{2}}}{5}$
=$\frac{2}{5}\sqrt{-{m}^{4}+20{m}^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{-（{m}^{2}-10）^{2}+100}$，
当m2=5时，S△ABQ最大，且S△ABQ最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．

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A．10B．5
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4．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：
做不到科学用眼能做到科学用眼合计
男451055
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