Question

4．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如2×2下列联表：

	做不到科学用眼	能做到科学用眼	合计
男	45	10	55
女	30	15	45
合计	75	25	100

（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X，试求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
独立性检验临界值表：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

Answer 1

分析 （1）分层从45份女生问卷中抽取了6份问卷，其中“科学用眼”抽6×$\frac{15}{45}$=2人，“不科学用眼”抽$6×\frac{30}{45}$=4人，若从这6份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；
（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K²的观测值k，即可得出．

解答 解：（1）“科学用眼”抽6×$\frac{15}{45}$=2人，“不科学用眼”抽$6×\frac{30}{45}$=4人．…（2分）
则随机变量X=0，1，2，…（3分）
∴$P（X=0）=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$；$P（X=1）=\frac{C_2^1C_4^2}{C_6^3}=\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$；$P（X=2）=\frac{C_2^2C_4^1}{C_6^3}=\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$…（6分）
分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（7分）
E（X）=0×$\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1． …（8分）
（2）K²=$\frac{100（45×15-30×10）^{2}}{75×25×55×45}$≈3，.030 …（10分）
由表可知2.706＜3.030＜3.840；
∴P=0.10． …（12分）

点评 本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．