题目内容
5．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）=$\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是（ ）| A． | f（x）在（0，+∞）上有极大值$\frac{1}{2}$ | B． | f（x）在（0，+∞）上有极小值$\frac{1}{2}$ | ||
| C． | f（x）在（0，+∞）单调递增 | D． | f（x）在（0，+∞）单调递减 |
分析 由题意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，从而由积分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）2+c，从而解得f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，从而再求导判断函数的单调性．
解答 解：∵x2f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）2+c，
又∵f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴1•f（1）=$\frac{1}{2}$（ln1）2+c，
即$\frac{1}{2}$=c，
故c=$\frac{1}{2}$，则xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）2+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx•\frac{1}{x}•x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故选：D．
点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用条件结合函数的积分公式求出函数的表达式数，利用函数的导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，不太容易想到．
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