Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.

Answer 1

解：

(1)证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，

则N(，，0)，E(0,0,1)，

∴＝(－，－，1)．

又A(，，0)，M(，，1)，

∴＝(－，－，1)，

∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.

又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)设P(t，t,0)(0≤t≤)，

则＝(－t，－t,1)，＝(，0,0)．

又∵与所成的角为60°，

则

解之，得t＝或t＝(舍去)，故点P为AC的中点．