Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-$\frac{31}{2}$．

Answer 1

分析 由题意求得$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$，再把要求的式子化为-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$，计算可得结果．

解答 解：已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=12=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3+16+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$．
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{7}{2}$-3-16=-$\frac{31}{2}$，
故答案为：-$\frac{31}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，属于中档题．