Question

2．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F 分别是 BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PAD
（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，求V_P-AEH的体积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，推导出AE⊥BC，再由BC∥AD，得AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE，由此能证明AE⊥平面PAD．
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH，AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AH=$\sqrt{2}$，V_P-AEH的体积V_P-AEH=V_E-PAH，由此能求出结果．

解答 证明：（1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．
解：（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．
由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
∴当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此AH=$\sqrt{2}$．
又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD tan 45°=2．
∴V_P-AEH=V_E-PAH=$\frac{1}{3}{S}_{△PAH}•AE$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×AH×PH）×AE$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}）×\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．