Question

10．已知关于实数x的一元二次方程x²+2ax+b²=0（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a是从区间[0，3]中任取的一个整数，b是从区间[0，2]中任取的一个整数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个实数，b是从区间[0，2]任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 设事件A为“方程x²+2ax+b²=0有实根”，当a≥0，b≥0，时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b．
（Ⅰ） 利用古典概型概率计算公式求解；
（Ⅱ）应用几何概型概率计算公式求解．

解答 解：设事件A为“方程x²+2ax+b²=0有实根”．
当a≥0，b≥0，时，方程x²+2ax+b²=0有实根的充要条件为a≥b．
（Ⅰ）基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一个数表示a的取值，
第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为$P（A）=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为=$\frac{{3×2-\frac{1}{2}×{2^2}}}{3×2}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了古典概型、几何概型，属于中档题．