Question

20．已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $2+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据三角形的面积和内切圆半径也为l，得到a+b+c=2，则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值．

解答 解：∵△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴$\frac{1}{2}$（a+b+c）×1=1，
即a+b+c=2，
即a+b=2-c，
∴0＜c＜2
∴$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$=$\frac{4}{2-c}$+$\frac{2-c}{c}$=$\frac{4}{2-c}$+$\frac{2}{c}$-1，
设f（x）=$\frac{4}{2-x}$+$\frac{2}{x}$-1，0＜x＜2，
∴f′（x）=$\frac{4}{（2-x）^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}+4x-4）}{{x}^{2}（x-2）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=-2+2$\sqrt{2}$，
当x∈（0，-2+2$\sqrt{2}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2+2$\sqrt{2}$，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（-2+2$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
故$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$的最小值为2+2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的最值得关系，以及三角形的面积和内切圆的关系，属于中档题