Question

已知函数f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α为第二象限角，且f(α-

π

3

)=

1

3

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．
（3）将函数f （x）图象上每一点的横坐标缩小为原来的

1

2

，纵坐标不变，再向右平移

π

6

个单位，得到的函数设为g（x），求

∫

3π 4 π 2

g(x)dx的值．

Answer 1

考点：微积分基本定理,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）变形为f（x）=1+2cos（x+

π

3

），从而求出函数的周期和值域；
（2）将

cos2α

1+cos2α-sin2α

化简为

cosα+sinα

2cosα

，再求出sinα，cosα的值，代入即可；
（3）由（1）知f(x)=1+2cos(x+

π

3

)，经过变换后得到的函数g（x）=1+2cos2x，从而得出答案．

解答： 解：（1）∵f(x)=1+cosx-

3

sinx=1+2cos(x+

π

3

)，
∴函数f（x）的周期为2π，
又∵-1≤cos(x+

π

3

)≤1，
故函数f（x）的值域为[-1，3]；
（2）∵f(α-

π

3

)=

1

3

，∴1+2cosα=

1

3

，即cosα=-

1

3

，
∵

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

2cosα(cosα-sinα)

=

cosα+sinα

2cosα

，
又∵α为第二象限角，且cosα=-

1

3

，∴sinα=

2 2

3

，
∴原式=

cosα+sinα

2cosα

=

- 1 3 + 2 2 3

- 2 3

=

1

2

-

2

；
（3）由（1）知f(x)=1+2cos(x+

π

3

)，
经过变换后得到的函数g（x）=1+2cos2x，
∴

∫

3π 4 π 2

g(x)dx=

∫

3π 4 π 2

(1+2cos2x)dx=(x+sin2x)|_

π

2

3π

4

=

π

4

-1．

点评：本题考查了三角函数的图象及性质，考查了三角恒等变换，考查了微积分基本定理，是一道中档题．