Question

已知△ABC中，点D在边BC上，sin∠BAC=

2 2

3

，

AC

•

AD

=0，AB=

6

，AD=

3

．
（Ⅰ）求sinB；
（Ⅱ）求

BD

DC

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件知，AC⊥AD，cos∠BAD=

2 2

3

，在△ABD中由余弦定理可求出BD=1，所以根据正弦定理即可求出sinB；
（Ⅱ）根据∠ADC=∠BAD+∠B，以及两角和的正弦公式可求出sin∠ADC=

6

3

，所以可用DC表示AC为：AC=

6

3

DC，在△ABC中根据余弦定理可建立关于DC的方程，解方程即得DC，前面求得BD=1，所以可求出

BD

DC

．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AC

•

AD

=0；
∴

AC

⊥

AD

；
即AC⊥AD；
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=

2 2

3

；
∴由余弦定理，BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠BAD=6+3-2

6

•

3

•

2 2

3

=1；
∴BD=1，sin∠BAD=

1

3

；
根据正弦定理，

1

1 3

=

3

sinB

；
∴sinB=

3

3

；
（Ⅱ）sin∠ADC=sin（∠BAD+∠B）=sin∠BAD•cos∠B+cos∠BAD•sin∠B=

1

3

•

6

3

+

2 2

3

•

3

3

=

6

3

；
∴AC=

6

3

DC，在△ABC中，由余弦定理得：
(

6

3

DC)2=6+(1+DC)2-2

6

(1+DC)•

6

3

；
整理得，DC²-6DC+9=0，解得DC=3；
∴

BD

DC

=

1

3

．

点评：考查两非零向量垂直的充要条件，三角函数的诱导公式，以及正余弦定理，两角和的正弦公式．