Question

19．已知函数f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²（a＞0），x∈[0，+∞）．
（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；
（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的最值的关系即可求出，
（2）根据导数和函数的单调性即可求求出．

解答 解：（1）依题意，f'（x）=3x²-x=x（3x-1），
当$0＜x＜\frac{1}{3}$时，f'（x）＜0，
当$x＞\frac{1}{3}$时，f'（x）＞0，
所以当$x=\frac{1}{3}$时，
函数f（x）有最小值$f（{\frac{1}{3}}）=-\frac{1}{54}$，
又$f（0）=0，f（1）=\frac{1}{2}$，故函数f（x）在[0，1]上的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-\frac{1}{54}$，
（2）依题意，f'（x）=3ax²-x，因为（3ax²-x）′=6ax-1＜0，
所以f'（x）的递减区间为$（{0，\frac{1}{6a}}）$．
当$x∈（{0，\frac{1}{6a}}）$时，f'（x）=3ax²-x=x（3ax-1）＜0，
所以f（x）在f'（x）的递减区间上也递减．

点评 本题考查了导数和函数的最值和单调性的关系，属于中档题．