Question

11．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，且满足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 求出f（x）的周期和奇偶性，计算f（x）在一个周期内整数点的函数值的和，即可得出答案．

解答 解：f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x-$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x-$\frac{3}{2}$），∴f（x）的周期为T=3．
∵f（x）的图象关于（-$\frac{3}{4}$，0）对称，∴f（x）+f（-$\frac{3}{2}$-x）=0，即f（-x-$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（-x-$\frac{3}{2}$），即f（x）=f（-x），
∴f（x）是偶函数，
∴f（1）+f（2）+f（3）=f（1）+f（-1）+f（0）=2f（-1）+f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=$\frac{2016}{3}$×0=0．
故选C．

点评 本题考查函数的周期性和奇偶性，涉及函数图象的对称性，属中档题．