Question

10．定义在R上的函数对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x+4）＞4．

Answer 1

分析 （1）判断函数定义域是否关于原点对称，取特殊值：令x=y=0，可得f（0）=0令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0；
（2）用定义法证明函数的单调性：在R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，判断f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x）=f（x₂）-f（x₁）＞0．
（3）根据f（1）=2，则4=f（2），将不等式等价转化为f（3x+4）＞f（2），再利用函数的单调性即可解得不等式的解集．

解答 解：（1）（x）定义在R上，定义域关于原点对称  
令x=y=0，可得f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数．
（2）R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上为增函数．
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，
∴4=2+2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2），
∴不等式f（3x+4）＞4等价转化为f（3x+4）＞f（2），
根据（1）中证明可知，f（x）在R上是单调递增函数，
∴3x+4＞2，解得，x＞$\frac{2}{3}$，
∴不等式f（3x+4）＞4的解集为{x|x＞-$\frac{2}{3}$}

点评 本题主要考察了抽象函数及其应用，利用单调性解不等式问题，属于中档题．