Question

8．在数列{a_n}中，已知对任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=（　　）

• A． （3¹⁰-1）²
• B． $\frac{{{9^{10}}-1}}{2}$
• C． 9¹⁰-1
• D． $\frac{{{3^{10}}-1}}{4}$

Answer 1

分析 设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，n∈N^*．利用递推关系可得：a_n=2×3^n-1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，n∈N^*．
则n=1时，a₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
当n=1时，上式也成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1，
∴数列$\{{a}_{n}^{2}\}$是等比数列，首项为4，公比为9．
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=$\frac{4（{9}^{10}-1）}{9-1}$
=$\frac{{9}^{10}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．