Question

3．已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（Ⅰ）求{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，T_n是{a_n}的前n项和，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，不等式T_n-λx_k²＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由${T_n}-λx_k^2＜{λ^2}$恒成立，则$\frac{1}{2}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]-λ{（{2k-1}）^2}＜{λ^2}$恒成立，化为${λ^2}+λ{（2k-1）^2}＞\frac{1}{2}{[1-{（{\frac{1}{3}}）^n}]_{max}}$，${（2k-1）^2}≥\frac{{\frac{1}{2}-{λ^2}}}{λ}$，而[（2k-1）²]_min=1，可得$1≥\frac{{\frac{1}{2}-{λ^2}}}{λ}$，即可得出．

解答 解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+2d=5\\ 6{x_1}+14d=34\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\ d=2\end{array}\right.⇒{x_n}=2n-1$，
（2）T_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
由${T_n}-λx_k^2＜{λ^2}$恒成立，则$\frac{1}{2}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]-λ{（{2k-1}）^2}＜{λ^2}$恒成立，
即${λ^2}+λ{（2k-1）^2}＞\frac{1}{2}{[1-{（{\frac{1}{3}}）^n}]_{max}}$，
∴${λ^2}+λ{（{2k-1}）^2}≥\frac{1}{2}$，
又λ＞0，∴${（2k-1）^2}≥\frac{{\frac{1}{2}-{λ^2}}}{λ}$，
∵[（2k-1）²]_min=1，∴$1≥\frac{{\frac{1}{2}-{λ^2}}}{λ}$，
即${λ^2}+λ-\frac{1}{2}≥0$，故$λ≥\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．