Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ACC₁≌△B₁ CC₁，CA⊥C₁ A且CA=C₁ A=2．
（1）求证：AB₁丄CC₁，
（2）若AB₁=2，求四棱锥A-BCC₁B₁，的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连AC₁，CB₁，证明CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，推出CC₁⊥平面OAB₁，然后证明CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）说明OA⊥平面BB₁C₁C．求出${S_{四形B{B_1}{C_1}C}}$，然后求解四棱锥A-BCC₁B₁的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：连AC₁，CB₁，则△ACC₁和△B₁CC₁均为等腰直角三角形．
取CC₁中点O，连OA，OB₁，则：
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
则CC₁⊥平面OAB₁，…（4分）
所以CC₁⊥AB₁．   …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=$\sqrt{2}$，又AB₁=2，
所以OA⊥OB₁．又OA⊥CC₁，OB₁∩CC₁=O，
所以OA⊥平面BB₁C₁C．${S_{四形B{B_1}{C_1}C}}$=BC×BB₁=4．
所以${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．