Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴的椭圆C．它的离心率为

1

2

且曲线C过点（0，

3

）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点．过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．求证：直线AN与BM交于定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

c a = 1 2 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）直线AN与BM交于点P．当AB⊥轴时，可得P(

5

2

，0)．
设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），与椭圆的方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，得到根与系数的关系，设M（4，y₁），N（4，y₂），可得直线AN：y-y2=

y2-y1

4-x1

(x-4)，令y=0，化为x=

x1x2-5x1+4

x2-x1

．直线BM：y-y1=

y2-y1

x2-4

(x-4)，令y=0，化为x=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．利用2x₁x₂+8-5（x₁+x₂）=0，可知直线AN与BM交于定点．

解答： （1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得

c a = 1 2 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点，
∴△=（-8k²）²-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂）．
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．
则M（4，y₁），N（4，y₂），
∴直线AN：y-y2=

y2-y1

4-x1

(x-4)，令y=0，化为x=

x1y2-4y1

y2-y1

=

x1•k(x2-1)-4k(x1-1)

k(x2-x1)

=

x1x2-5x1+4

x2-x1

．
直线BM：y-y1=

y2-y1

x2-4

(x-4)，令y=0，化为x=

4y2-x2y1

y2-y1

=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．
∵2x₁x₂+8-5（x₁+x₂）=

2(4k2-12)

3+4k2

+8-

40k2

3+4k2

=0，
∴

x1x2-5x1+4

x2-x1

=

5x2-4-x1x2

x2-x1

．
因此直线AN与BM交于定点P．
当AB⊥轴时，可得P(

5

2

，0)．
即直线AN与BM交于定点P(

5

2

，0)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．