Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设Q为侧棱PC的中点，求三棱锥Q-PBD的体积；
（3）若N是棱BC的中点，则棱PC上是否存在点M，使MN平行于平面PDA？若存在，求PM的长；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1，由勾股定理得BC⊥BD，由此能证明BC⊥面PBD．
（2）Q为侧棱PC的中点，取BC中点N，连结QN，由已知条件得三棱锥Q-PBD的高BN=

1

2

BC=

2

2

，由此能求出三棱锥Q-PBD的体积．
（3）存在，M是PC的四等分点，靠近C点，理由如下：取PC的中点Q，由BQ平行MN，推导出MN平行与平面PDA．

解答： （本小题满分12分）
（1）证明：∵面PCD⊥底面ABCD，
面PCD∩底面ABCD=CD，PD?面PCD，且PD⊥CD，
∴PD⊥面ABCD，又BC?面ABCD，∴BC⊥PD，①
取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1，
在Rt△ABD中，BD=

2

，在Rt△BCE中，BC=

2

，
∵BD²+BC²=（

2

）²+（

2

）²=2²=CD²，∴BC⊥BD，②
∵PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD．…（4分）
（2）解：∵Q为侧棱PC的中点，取BC中点N，连结QN，
则QN∥PB，BC⊥面PBD，
∴三棱锥Q-PBD的高BN=

1

2

BC=

2

2

，
∵PD⊥CD，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴S△PBD=

1

2

PD•BD=

1

2

×1×

1+1

=

2

2

，
∴三棱锥Q-PBD的体积V=

1

3

×BN×S△PBD=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．…（8分）
（3）解：存在，M是PC的四等分点，靠近C点，理由如下：
取PC的中点Q，由题意知BQ平行于平面PDA，
又BQ平行MN，所以MN平行与平面PDA．…（13分）

点评：本题直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．