Question

3．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．
（1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；
（2）连结FC，求证∠FCN=45°；
（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，AE=AG，∠DAG=∠BAE推出三角形全等；
（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，证明FH=CH即可．
（3）取AB中点Q，连结DQ，使用全等三角形得出AG与QD平行且相等，AG与EF平行且相等，故QD与EF平行且相等．

解答 证明：（1）如图，连接DG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△ADG≌△ABE；
（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
∵AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，
∴BE+EC=EC+CH
∴CH=BE=FH，
∴∠FCN=45°；
（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，
∵AB=AD，
∴△DAQ≌△ABE，
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，
∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，
∴QD、EF平行且相等，
∴四边形DQEF是平行四边形，
∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是，平行四边形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，作出辅助线，找到全等三角形是关键．