已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$以坐标原点O为极点.以x轴正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C的方程为$sinθ-\sqrt{3}ρ{cos^2}θ=0$．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程,(Ⅱ)写出直线l与曲线C交点的一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为$sinθ-\sqrt{3}ρ{cos^2}θ=0$．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．

分析（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$，代入$y-\sqrt{3}{x^2}=0$得，$\sqrt{3}+\sqrt{3}t-\sqrt{3}{（{1+\frac{1}{2}t}）^2}=0$，求出交点坐标，即可直线l与曲线C交点的一个极坐标．

解答解：（Ⅰ）∵$sinθ-\sqrt{3}ρ{cos^2}θ=0$，∴$ρsinθ-\sqrt{3}{ρ^2}{cos^2}θ=0$，
即$y-\sqrt{3}{x^2}=0$；
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t\end{array}\right.$，代入$y-\sqrt{3}{x^2}=0$得，$\sqrt{3}+\sqrt{3}t-\sqrt{3}{（{1+\frac{1}{2}t}）^2}=0$，即t=0，
从而，交点坐标为$（{1，\sqrt{3}}）$，
所以，交点的一个极坐标为$（{2，\frac{π}{3}}）$．

点评本题考查极坐标与直角坐标互化，考查参数方程的运用，比较基础．

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