已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左焦点为F.离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.点M在椭圆上.直线FM的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.直线FM被圆x2+y2=$\frac{1}{2}$截得的线段的长为c．(1)求椭圆的方程,(2)设动点P在椭圆上.若直线FP的斜率大于$\sqrt{2}$.求直线OP� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M在椭圆上，直线FM的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直线FM被圆x²+y²=$\frac{1}{2}$截得的线段的长为c．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．

分析（1）通过离心率，计算可得a²=3c²、b²=2c²，设直线FM的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+c}）$，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得a²=3，b²=2，即可求椭圆的方程；
（2）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（-$\frac{3}{2}$，-1）与x∈（-1，0）两种情况讨论即可得出结论．

解答解：（1）由已知有$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，又a²=b²+c²，可得a²=3c²，b²=2c²
设直线FM的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+c}）$，由圆心到直线FM的距离公式可得${d^2}={（{\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}}{{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}}}）^2}=\frac{c^2}{4}⇒{d^2}+{（{\frac{c}{2}}）^2}=\frac{1}{2}⇒c=1$，∴a²=3，b²=2
故所求的椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）设点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，FP：y=t（x+1）（x≠-1）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=t（{x+1}）\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$消去y整理$2{x^2}+3{t^2}{（{x+1}）^2}=6⇒t=\sqrt{\frac{{6-2{x^2}}}{{3{{（{x+1}）}^2}}}}＞\sqrt{2}$，
可解得$-\frac{3}{2}＜x＜-1$或-1＜x＜0．
再设直线OP的斜率为$m，⇒m=\frac{y}{x}，y=mx（{x≠0}）$，
再联立$\left\{\begin{array}{l}y=mx\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.⇒{m^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}$
①当$-\frac{3}{2}＜x＜-1$时，y=t（x+1）＜0⇒m＞0故$m=\sqrt{\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}}$得$m∈（{\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
②当-1＜x＜0时，y=t（x+1）＜0⇒m＜0故$m=-\sqrt{\frac{2}{x^2}-\frac{2}{3}}$得$m∈（{-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
综上直线OP的斜率m的取值范围$m∈（{-∞，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$．