已知函数f(x)=$\frac{2}{x+1}$.点O为坐标原点.点An(n∈N*).向量$\overrightarrow j=(0.1)$.θn是向量$\overrightarrow{O{A n}}$与$\overrightarrow j$的夹角.则$\frac{{cos{θ 1}}}{{sin{θ 1}}}+\frac{{cos{θ 2}}}{{sin{θ 2}}}+\frac{{cos{� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知函数f（x）=$\frac{2}{x+1}$，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），向量$\overrightarrow j=（0，1）$，θ_n是向量$\overrightarrow{O{A_n}}$与$\overrightarrow j$的夹角，则$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=（　　）

A．

$\frac{2015}{1008}$

B．

$\frac{2017}{2016}$

C．

$\frac{2016}{2017}$

D．

$\frac{4032}{2017}$

分析求出$\overrightarrow{O{A}_{n}}$，根据平面向量的数量积公式计算cosθ_n，根据同角三角函数的关系得出sinθ_n，化简得$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，然后使用裂项法求和即可．

解答解：$\overrightarrow{O{A}_{n}}$=（n，$\frac{2}{n+1}$），
∴cosθ_n=$\frac{\overrightarrow{O{A}_{n}}•\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{O{A}_{n}}||\overrightarrow{i}|}$=$\frac{\frac{2}{n+1}}{\sqrt{{n}^{2}+\frac{4}{（n+1）^{2}}}}$=$\frac{2}{\sqrt{（n+1）^{2}{n}^{2}+4}}$，
∴sinθ_n=$\sqrt{1-co{s}^{2}{θ}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{\sqrt{（n+1）^{2}{n}^{2}+4}}$，
∴$\frac{cos{θ}_{n}}{sin{θ}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+\frac{{cos{θ_2}}}{{sin{θ_2}}}+\frac{{cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}}}+…+\frac{{cos{θ_{2016}}}}{{sin{θ_{2016}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$．
故选D．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，数列求和，计算通项是关键，属于中档题．