Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，记f（x）=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则f（x）的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{17}{8}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义求出向量数量积和向量模长，求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2+2cos2x=2+2（2cos²x-1）=4cos²x
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2|cosx|，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴cosx∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2|cosx|=2cosx，
则f（x）=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$×2cosx-cos2x=3cosx-cos2x=3cosx-2cos²x+1=-2（cosx-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵cosx∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴当cosx=1时，函数取得最小值此时y=3-2+1=2，
函数f（x）的最小值为2，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的最值的求解，利用向量数量积的定义和坐标公式，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的最值性质进行求解是解决本题的关键．