Question

5．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N₊），由边角关系可得C=2A，由正弦定理和余弦定理列出方程，求出n、三边、cosA的值，由平方关系求出sinA，代入三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N₊），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，则$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{sin2A}$，
∴$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{2sinAcosA}$，得cosA=$\frac{n+2}{2n}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（n+1）}^{2}+{（n+2）}^{2}-{n}^{2}}{2（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{{（n+1）}^{2}+{（n+2）}^{2}-{n}^{2}}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+2}{2n}$，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=$\frac{3}{4}$，
又0＜A＜π，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．