题目内容
【题目】某地举行水上运动会，如图，岸边有
两点，
，小船从
点以
千米/小时的速度沿
方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过
小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）
（1）若
，
，运动员从
处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从处沿射线
方向在岸边跑步匀速行进
小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下的最大值.
【答案】（1）2；（2）
.
【解析】
（1）设运动员游泳的速度为
千米/小时，结合余弦定理即可表示出
，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.
（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定
，进而求得速度的最大值.
（1）设运动员游泳的速度为千米/小时，
由余弦定理可知
，
化简可得
，
因为
，所以
，
则当
，即
时，取得最小值，此时
，
所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2.
（2）运动员游泳时间为
小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，
由余弦定理可知
，
整理化简可得
，
设
，
则上式可化为
在
内有解，
则
，
解得
，
当
时，代入方程可解得
，满足
，
所以小船在能与运动员相遇的条件下
的最大值为.
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