Question

【题目】如图，在空间之间坐标系中，四棱锥的底面在平面上，其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，顶点在轴上，且，.

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）设为的中点，点在上，且，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）列出、、、、的坐标，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值，即可得出直线与平面所成角的大小；

（2）求出点、的坐标，计算出平面和的法向量、，利用空间向量法求出二面角的余弦值的绝对值，由此可得出二面角的正弦值.

因为四棱锥的底面在平面上，

其中点与坐标原点重合，点在轴上，，，

顶点在轴上，且，，

所以，，，，.

（1），，，

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，，得.

所以.

所以直线与平面所成角的大小为；

（2）因为为的中点，点在上，且，所以，.

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，，得.

又平面的一个法向量为，所以.

所以二面角的正弦值为.