Question

【题目】如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；

（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.

解法一：（1）依题意知，因为，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.

由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.

因为，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）在中，，，所以.

由（1）知，平面，且，

所以三棱锥的体积.

在中，，，得，

由（1）知，平面，所以，

所以，

设点到平面的距离，

则三棱锥的体积，得.

解法二：（1）同解法一；

（2）因为，平面，平面，

所以平面.

所以点到平面的距离等于点到平面的距离.

过点作的垂线，垂足，即.

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，

所以平面，即为点到平面的距离.

由（1）知，，

在中，，，得.

又，所以.

所以点到平面的距离为.