Question

【题目】如图，在正三棱柱中，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

建立空间直角坐标系，

（1）利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成角的正弦值.

（2）设出的长，得到点的坐标，通过平面与平面的法向量，结合二面角的大小为60°列方程，解方程求得的长.

如图，以中点为原点建立空间直角坐标系，

可得.

（1）所以，平面的一个法向量

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）假设存在满足条件的点，设，

则，设平面的法向量，

因为，，

且

所以 所以平面的一个法向量

又因为平面的一个法向量

所以，

解得，因为，此时，

所以存在点，使得二面角的大小为60°.