Question

【题目】已知从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,且椭圆经过.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在实数,使直线与椭圆有两个不同交点，且（为坐标原点），若存在,求出的值.不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在, .

【解析】试题分析：（1）根据从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,可得，由椭圆经过可得，联立求解出的值即可求椭圆的方程；（2）由 ,根据韦达定理以及经过两点的直线的斜率公式列出关于的方程求解即可.

试题解析：(1）由于从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,得,此时,椭圆方程为又因为经过点,

即 ∴椭圆方程为.

（2）由 ,

由或,设,则 ,, 即, , 综上可知, 实数存在且.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.