题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（0＜ω＜1，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M
对称，求f（x）的解析式．
【答案】分析：由f（x）是偶函数可得ϕ的值，图象关于点M
对称可得函数关系f（
-x）=-f（
+x），可得ω的可能取值，确定ω的值．
解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
∴2cosφsinωx=0，对任意x都成立，且0＜ω＜1，
∴cosφ=0，又0≤ϕ≤π，
∴φ=
，
∴f（x）=sin（ωx+
）=cosωx；
由f（x）的图象关于点M（
，0）对称，
∴f（
-x）=-f（x），即cosω（
-x）=-cosωx
取x=0，cos
=-1．
∴
=2kπ+π，
∴ω=
（2k+1），k=0，1，2…
又0＜ω＜1，
∴当k=0时，ω=
．
∴f（x）=cos
x．
点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，属于难题．
对称可得函数关系f（
-x）=-f（
+x），可得ω的可能取值，确定ω的值．解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
∴2cosφsinωx=0，对任意x都成立，且0＜ω＜1，
∴cosφ=0，又0≤ϕ≤π，
∴φ=
，∴f（x）=sin（ωx+
）=cosωx；由f（x）的图象关于点M（
，0）对称，∴f（
-x）=-f（x），即cosω（
-x）=-cosωx取x=0，cos
=-1．∴
=2kπ+π，∴ω=
（2k+1），k=0，1，2…又0＜ω＜1，
∴当k=0时，ω=
．∴f（x）=cos
x．点评：本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，属于难题．
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