Question

已知函数f（x）=

a

2x

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M；
（2）对于任意的s、t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-x-1，∴g′（x）=（x-1）（3x+1）
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（ 1，2）上单调递增，
∴g（x）_min=g（ 1）=-2，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=3，∴满足的最大整数M为3；
（2）对于任意的s、t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

1

3

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

1

3

，2]上，f（x）=

a

2x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥2x-2x²lnx恒成立
记h（x）=2x-2x²lnx，则h′（x）=2-4xlnx-x且h′（1）=0
∴当

1

3

＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（

1

3

，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=2
∴a≥2．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查了划归与转化的思想，属于中档题．