题目内容
已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
时，取得极小值
-
．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-
，
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：
根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：
根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．
分析：（1）求导数f′（x），由已知可得f′（
）=0，f（
）=
-
，可得方程组，解出a，b后注意检验；
（2）对任意x1，x2∈[-
，
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，等价于f（x）max-f（x）min≤m，利用导数即可求得函数f（x）在[-
，
]上的最大值、最小值；
（3）根据图象可猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，根据“上夹线”的定义进行说明即可；
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）对任意x1，x2∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）根据图象可猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，根据“上夹线”的定义进行说明即可；
解答：解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：
，解得a=1，b=-2，
此时f（x）=x-2sinx，∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，
）时，f′（x）＜0，当∈（
，
）时，f′（x）＞0，
∴当x=
时，f（x）取得极小值
-
，即a=1，b=-2符合题意；
（2）对任意x1，x2∈[-
，
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，等价于f（x）max-f（x）min≤m，
由（1）知f（x）=x-2sinx，f′（x）=1-2cosx，
当x∈[-
，
]时，f′（x）≤0，所以f（x）在[-
，
]上递减，
f(x)min=f(
)=
-
，f(x)max=f(-
)=-
+
，
f（x）max-f（x）min=2
-
，
所以m≥2
-
；
（3）根据图象猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，说明如下：
由y′（x）=m-ncosx=m，得cosx=0，
当x=-
时，cosx=0，此时y1=mx+n=-
+n，y2=mx-nsinx=-
+n，
∴y1=y2，
∴（-
，-
+n）是直线l与曲线S的切点；
当x=
时，cosx=0，此时y1=mx+n=
+n，y2=mx-nsinx=
+n，
∴y1=y2，
∴（
，
+n）也是直线l与曲线S的切点；
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，（mx+n）-（mx-nsinx）=n（1+sinx）≥0，mx+n≥mx-nsinx，
因此直线l：y=mx+n为曲线S：y=mx-nsinx“上夹线”
而由已知得：
|
此时f（x）=x-2sinx，∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴当x=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）对任意x1，x2∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由（1）知f（x）=x-2sinx，f′（x）=1-2cosx，
当x∈[-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
f(x)min=f(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
f（x）max-f（x）min=2
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以m≥2
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（3）根据图象猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，说明如下：
由y′（x）=m-ncosx=m，得cosx=0，
当x=-
| π |
| 2 |
| mπ |
| 2 |
| mπ |
| 2 |
∴y1=y2，
∴（-
| π |
| 2 |
| mπ |
| 2 |
当x=
| 3π |
| 2 |
| 3mπ |
| 2 |
| 3mπ |
| 2 |
∴y1=y2，
∴（
| 3π |
| 2 |
| 3mπ |
| 2 |
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，（mx+n）-（mx-nsinx）=n（1+sinx）≥0，mx+n≥mx-nsinx，
因此直线l：y=mx+n为曲线S：y=mx-nsinx“上夹线”
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，（1）问知，求得a=1，b=-2后，需分析验证“x=
时，f（x）取得极小值”，学生易忘记这一步；分析（-
，-
+n）与（
，
+n）是直线l与曲线S的切点，即满足①是难点，考查综合分析与推理的能力，属于难题．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| mπ |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| 3m |
| 2 |
练习册系列答案
新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案
相关题目