题目内容

（1）已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1-1
01
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（1）①由已知得：
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
，可得
2a-2=2
2-b=-1
，求出a，b的值，可得A．
②由条件求出O、M、N变换后的对应点的坐标O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），从而求得△O′M′N′的面积
（2）①把直线的参数方程消去参数化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标方程化为直角坐标方程．
②求出圆心到直线的距离d，即可求得点P到直线l的距离的取值范围．
（3）解：①原不等式等价于
x≤1
-2x≥3
，或
-1＜x≤1
2≥3
，或
x＞1
2x≥3
，分别求出这三个不等式组的解集，再取并集
即得所求．
②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，再由|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
可得 a2-a≤2，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）解：①由已知得：
a2
1b
 
2
-1
=1•
2
-1
，
∴
2a-2=2
2-b=-1
，解得
a=2
b=3
，故A=
22
13
．…（3分）
②∵AB=
22
13
 
1-1
01
=
20
12
，…（4分）
∴
20
12
 
0
0
=
0
0
，
20
12
 
2
-1
=
4
0
，
20
12
 
0
2
=
0
4
．…（6分）
即点O（0，0），M（2，-1），N（0，2）变成点O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），
∴△O′M′N′的面积为
1
2
×4×4=8．   …（7分）
（2）解：①直l的普通方程为：
3
x-y+3
3
=0．…（2分）
曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x+3=0．…（4分）
②曲线C的标准方程为 （x-2）2+y2=1，圆心C（2，0），半径为1．
∴圆心C到直线l的距离为：d=
|2
3
-0+3
3
|
2
=
5
3
2
．  …（6分）
所以点P到直线l的距离的取值范围是[
5
3
2
-1，
5
3
2
+1]．    …（7分）
（3）解：①原不等式等价于
x≤1
-2x≥3
，或
-1＜x≤1
2≥3
，或
x＞1
2x≥3
，…（1分）
解得 x≤-
3
2
，或 x∈∅，x≥
3
2
．
∴不等式的解集为{x|x≤-
3
2
，x≥
3
2
 }．…（4分）
②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a2-a在R上恒成立，
∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，…（5分）
∴a2-a≤2，解得-1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[-1，2]．   …（7分）
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，特征向量的意义，矩阵运算，把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）已知矩阵M=
1a
b1
，N=
c2
0d
，且MN=
20
-20
，
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
（1）已知矩阵A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、(1，
π
2
)，曲线C的参数方程为
x=rcosα
y=rsinα
(α为参数，r＞0）
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
（3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值时x的值．
已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是
1
1
，（1）求矩阵A．（2）
β
=
4
0
，求A5
β
．
（2012•漳州模拟）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ） 求矩阵A；
（Ⅱ） 矩阵B=
1-1
01
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t-3 
y=
3
t 
（t为参数）．以直角坐标系xOy中的原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐标方程；
（Ⅱ） P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α1
=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量
α2
=
3
-2
．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）计算A3
-1
4
的值．

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