Question

（1）已知矩阵A=

a 2 1 b

有一个属于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=

1 -1 0 1

，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=t-3 y= 3  t

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①由已知得：

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，可得

2a-2=2 2-b=-1

，求出a，b的值，可得A．
②由条件求出O、M、N变换后的对应点的坐标O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），从而求得△O′M′N′的面积
（2）①把直线的参数方程消去参数化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标方程化为直角坐标方程．
②求出圆心到直线的距离d，即可求得点P到直线l的距离的取值范围．
（3）解：①原不等式等价于

x≤1 -2x≥3

，或

-1＜x≤1 2≥3

，或

x＞1 2x≥3

，分别求出这三个不等式组的解集，再取并集
即得所求．
②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a²-a在R上恒成立，再由|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
可得 a²-a≤2，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）解：①由已知得：

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，
∴

2a-2=2 2-b=-1

，解得

a=2 b=3

，故A=

2 2 1 3

．…（3分）
②∵AB=

2 2 1 3

 

1 -1 0 1

=

2 0 1 2

，…（4分）
∴

2 0 1 2

 

0 0

=

0 0

，

2 0 1 2

 

2 -1

=

4 0

，

2 0 1 2

 

0 2

=

0 4

．…（6分）
即点O（0，0），M（2，-1），N（0，2）变成点O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），
∴△O′M′N′的面积为

1

2

×4×4=8．   …（7分）
（2）解：①直l的普通方程为：

3

x-y+3

3

=0．…（2分）
曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-4x+3=0．…（4分）
②曲线C的标准方程为 （x-2）²+y²=1，圆心C（2，0），半径为1．
∴圆心C到直线l的距离为：d=

|2 3 -0+3 3 |

2

=

5 3

2

．  …（6分）
所以点P到直线l的距离的取值范围是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．    …（7分）
（3）解：①原不等式等价于

x≤1 -2x≥3

，或

-1＜x≤1 2≥3

，或

x＞1 2x≥3

，…（1分）
解得 x≤-

3

2

，或 x∈∅，x≥

3

2

．
∴不等式的解集为{x|x≤-

3

2

，x≥

3

2

 }．…（4分）
②依题意得：关于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a²-a在R上恒成立，
∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，…（5分）
∴a²-a≤2，解得-1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[-1，2]．   …（7分）

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，特征向量的意义，矩阵运算，把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．