Question

已知函数f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b

x

在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-

1

x2

是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知，f′（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立且g′（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，进而得到b的值；
（2）由于函数φ(x)=2ax-

1

x2

在x∈（0，1]上为增函数，则φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，即a＞-

1

x3

在（0，1]上恒成立，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f′(x)=2x-

b

x

，
依题意f′（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立，即b≤2x²在x∈（1，2]上恒成立，
∴b≤2（3分）
又∵g′(x)=1-

b

2 x

，
依题意g′(x)≤0x∈(0，1)，⇒b≥2

x

恒成立，
∴b≥2（5分）
∴b=2（6分）
（2）∵f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
∴f（x）为减函数，其最小值为1（8分）
令φ(x)=2ax-

1

x2

，则φ′(x)=2a+

2

x3

，
∵函数φ(x)=2ax-

1

x2

在x∈（0，1]上为增函数，
∴φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立
即a＞-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
∴a≥-1，且φ(x)=2ax-

1

x2

的最大值为2a-1（10分）
依题意

a≥-1 2a-1≤1

，解得-1≤a≤1为所求范围（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．