Question

已知函数y=sinx+cosx，给出下列四个命题：
（1）若x∈[0，

π

2

]，则y∈(0，

2

]；
（2）直线x=-

3π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
（3）在区间[

π

4

，

5π

4

]上函数y=sinx+cosx是减函数；
（4）函数y=sinx+cosx的图象可由y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位而得到．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

由题意可得：函数y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
因为x∈[0，

π

2

]，所以根据三角函数的性质可得：y∈[1，

2

]，所以（1）错误；
当 x=-

3π

4

时，函数y=sinx+cosx有最大值-

2

，所以x=-

3π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，所以（2）正确；
由三角函数的性质可得：函数y=

2

sin（x+

π

4

）的单调减区间为：[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z，
所以在区间 [

π

4

，

5π

4

]上函数y=sinx+cosx是减函数，所以（3）正确；
函数y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位得到函数y=

2

sin（x-

π

4

）的图象，所以（4）错误．
故答案为：（2）（3）．