Question

已知函数y=sinx+cosx，给出下列四个命题：
（1）若x∈[0，

π

2

]，则y∈(0，

2

]；
（2）直线x=-

3π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
（3）在区间[

π

4

，

5π

4

]上函数y=sinx+cosx是减函数；
（4）函数y=sinx+cosx的图象可由y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位而得到．其中正确命题的序号是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：根据有关公式化简可得：y=

2

sin（x+

π

4

），（1）根据三角函数的性质可得：y∈[1，

2

]．（2）当 x=-

3π

4

时，函数y=sinx+cosx有最大值-

2

．（3）由三角函数的性质可得：函数y=

2

sin（x+

π

4

）的单调减区间为：[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．（4）函数y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位得到函数y=

2

sin（x-

π

4

）的图象．

解答：解：由题意可得：函数y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
因为x∈[0，

π

2

]，所以根据三角函数的性质可得：y∈[1，

2

]，所以（1）错误；
当 x=-

3π

4

时，函数y=sinx+cosx有最大值-

2

，所以x=-

3π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，所以（2）正确；
由三角函数的性质可得：函数y=

2

sin（x+

π

4

）的单调减区间为：[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z，
所以在区间 [

π

4

，

5π

4

]上函数y=sinx+cosx是减函数，所以（3）正确；
函数y=

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位得到函数y=

2

sin（x-

π

4

）的图象，所以（4）错误．
故答案为：（2）（3）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的性质与函数图象的平移变换，以及正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题．