Question

已知函数y=sinx+

3

cosx．
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin(x+

π

3

)，由此可得它的周期及最大值．
（2）由-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范围，可得该函数的递增区间．

解答：解：（1）依题意可得y=sinx+

3

cosx=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

)=2sin(x+

π

3

)，
所以T=

2π

ω

=2π，最大值为2．
（2）由-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，可得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈z
所以，该函数的递增区间为[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，复合三角函数的周期性和最大值，正弦函数的单调性，属于中档题．