Question

已知函数y=sinx+cosx，y=2

2

sinxcosx，则下列结论中，正确的序号是

③

．
①两函数的图象均关于点（-

π

4

，0）成中心对称；
②两函数的图象均关于直线x=-

π

4

成轴对称；
③两函数在区间（-

π

4

，

π

4

）上都是单调增函数； 
④两函数的最小正周期相同．

Answer 1

分析：先化简函数，再利用中心对称、轴对称的判断方法判断，可得①②的正确性；利用三角函数的单调性与周期性，可知③④的周期性．

解答：解：由题意y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x
①x=-

π

4

时，

2

sin(x+

π

4

)=0，图象关于点（-

π

4

，0）成中心对称；x=-

π

4

时，

2

sin2x=-

2

，图象不关于点（-

π

4

，0）成中心对称，故①不正确；
②由①知，函数y=sinx+cosx的图象不关于直线x=-

π

4

成轴对称；y=2

2

sinxcosx的图象均关于直线x=-

π

4

成轴对称，故②不正确；
③x∈（-

π

4

，

π

4

）时，x+

π

4

∈(0，

π

2

)，函数y=

2

sin(x+

π

4

)单调递增；x∈（-

π

4

，

π

4

）时，2x∈(-

π

2

，

π

2

)，函数y=2

2

sinxcosx在区间（-

π

4

，

π

4

）上都是单调增函数，故③正确；
④y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)的周期为2π，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x的周期为π，故④不正确
故答案为③

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．