题目内容

已知函数y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
求它的最大、最小值,并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合.
分析:先对所给的函数的解析进行化简,得到y=2sin(2x+
π
3
)+1+
3
,再判断最值及相应的自变量的取值集合.
解答:解:由题y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
=1+sin2x+
3
(1+cos2x)=2sin(2x+
π
3
)+1+
3

它的最大值是3+
3
,此时2x+
π
3
=2kπ+
π
2
,k∈z,x=kπ+
π
6
,k∈z,函数取最大值时相应x的取值集合{x|x=kπ+
π
6
,k∈z}
它的最小值是3-
3
,此时2x+
π
3
=2kπ-
π
2
,k∈z,x=kπ-
6
,k∈z,函数取最大值时相应x的取值集合{x|x=kπ+
6
,k∈z}
点评:本题目考查三角函数的最值,解题的关键是根据三角恒等变换公式,将所给的三角解析式化简函数y=Asin(ωx+φ)的形式,再由三角的性质求出最值,及取到最值时相应x的取值集合.
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