Question

3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$与g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，3-2ln2]
• B． [3-2ln2，+∞）
• C． [$\sqrt{e}$，+∞）
• D． （-∞，$-\sqrt{e}$]

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，求出函数g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的最小值，利用已知条件转化列出不等式求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$的图象如图：
g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）$≥\frac{1}{2}$，当且仅当x=-a时取等号，
函数y=ln（-x）与y=$\frac{1}{2}$（|x+$\sqrt{e}$|+1）在x＜0有解，而且g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）看作g（x）=$\frac{1}{2}$（|x|+1）向左平移而得，y′=[ln（-x）]′=$\frac{1}{x}$，可得切点横坐标为：$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$，即x=-2，
此时a取得最小值：ln2=$\frac{1}{2}$（|-2+a|+1），解得a=3-2ln2．
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx（x＞0）}\\{-\sqrt{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$与g（x）=$\frac{1}{2}$（|x+a|+1）的图象上存在关于y轴对称的点，
所以实数a的取值范围是：[3-2ln2，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点，函数的图象的画法，考查数形结合以及转化思想的应用．