Question

已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x²＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log (x²－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[1,2]时，不等式x²＋ax－2>0恒成立，

∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，

令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，

∴g(x)_max＝g(1)＝1，

∴a>1.即若命题p真，则a>1.

又∵函数f(x)＝log (x²－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，

∴u(x)＝x²－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x²－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，

∴a≤1，u(1)>0，∴－1<a≤1，

即若命题q真，则－1<a≤1.

综上知，若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.