Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上存在一点P，使得∠F₁PF₂=120°，其中F₁，F₂是椭圆的两焦点，则椭圆离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由椭圆的焦半径公式|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，由cos120°=$\frac{丨P{F}_{1}{丨}^{2}+丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨{F}_{1}{F}_{2}{丨}^{2}}{2丨P{F}_{1}丨•丨P{F}_{2}丨}$=-$\frac{1}{2}$，解得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，由椭圆的取值范围，0＜$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$≤a²，即可求得4c²-3a²≥0，e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由0＜e＜1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．

解答 解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos120°=$\frac{丨P{F}_{1}{丨}^{2}+丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨{F}_{1}{F}_{2}{丨}^{2}}{2丨P{F}_{1}丨•丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{（a+e{x}_{1}）^{2}+（a+e{x}_{2}）^{2}-（2c）^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a+e{x}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0＜$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$≤a²，
整理得：4c²-3a²≥0，
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
0＜e＜1
∴故椭圆离心率的取范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的焦半径公式及椭圆的离心率公式，考查余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．