Question

【题目】如图，在三棱柱中，已知，，侧面.

（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；

（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，

使得（要求说明理由）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E为中点时，，理由见详解；（Ⅲ）二面角的大小为45°.

【解析】

方法一：(Ⅰ) 可得为直线与底面ABC所成角，由已知可得的值；

（Ⅱ）当E为中点时，，可得，即.可得，平面ABE，；

（Ⅲ）取的中点G，的中点F，则，且，连结，设，连结，可得为二面角的平面角，可得二面角的大小.

方法二：(Ⅰ)以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，可得，面ABC的一个法向量，可得的值，可得的值；

（Ⅱ）设，则，,

由，可得y的值，可得E的位置；

（Ⅲ）可求得面的一个法向量，

平面的一个法向量,可得二面角的大小.

解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,

在平面ABC上的射影为CB.

为直线与底面ABC所成角，

，

即直线与底面ABC所成角的正切值为2.

（Ⅱ）当E为中点时，.

,，

，即.

又平面，平面.

，平面ABE, 平面ABE ，.

（Ⅲ）取的中点G，的中点F，则，且，

,连结，设，连结，

则，且，

为二面角的平面角. ，，

∴二面角的大小为45°.

另解：以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则.

（Ⅰ），面ABC的一个法向量.

设与面ABC所成角为，则，

.

（Ⅱ）设，则，,

由，得，所以E为的中点.

（Ⅲ）由，得，又,

可求得面的一个法向量，

平面的一个法向量,

设二面角的大小为，则.

∴二面角的大小为45°.