Question

【题目】如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.

证明：（1）取中点，连结，

∵，∴， ，

∵平面，平面平面，

平面平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又，

∴四边形是平行四边形，∴，

∵是等边三角形，∴，

∵平面，平面平面，平面平面，

∴平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

解：（2）由（1）得平面，∴，

又，

分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

，

则，取，得，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

则．

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．