Question

【题目】设数列对任意都有（其中、、是常数） .

（Ⅰ）当，，时，求；

（Ⅱ）当，，时，若，，求数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且.若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）当，，时，由已知条件推导出，，由此得到数列是以首项为1，公比为3的等比数列，从而能求出；

（Ⅱ）当，，，由已知条件推导出，从而得到数列是等差数列，由此求出；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列是等差数列，，由此进行验证，求出数列的首项的所有取值.

（Ⅰ）当，，时，①，用去换

得②，②-①得，，即，

在①中令得，故是以1为首项，3为公比的等比数列，所以，

从而.

（Ⅱ）当，，时，③，用去换得

④，④-③得，⑤，用

去换得⑥，⑥-⑤得，，即

，故是等差数列，因为，，所以公差，

故.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知是等差数列，因，所以，假设存在这样的“封闭数列”，

则对任意，必存在，使得，

所以，故为偶数，，又由已知，，

所以，此时；当时，，

，所以

，

故