题目内容
【题目】已知双曲线
：
的右焦点为
，半焦距
，点到右准线
的距离为
，过点作双曲线的两条互相垂直的弦
，
，设，的中点分别为
，
.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线
必过定点，并求出此定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析；定点
【解析】
（1）由题意可得
的值，再由点
到直线
的距离为
，可得
的值，再由，
，之间的关系求出双曲线的方程；
（2）设弦
所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得的中点
的坐标，再由椭圆可得弦
的中点
的坐标，分别讨论当
的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.
（1）由题设可得
，
，所以
，
.
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：点
，设过点的弦所在的直线方程为
，
，
，
则有
.
联立
，可得
.
因为弦与双曲线
有两个交点，所以
，
所以
，所以
.
（1）当
时，点即是点，此时，直线为
轴.
（2）当
时，将上式点坐标中的
换成
，同理可得
.
①当直线不垂直于轴时，
直线的斜率
，
其方程
，化简得
，
所以直线过定点；
②当直线垂直于轴时，
，此时，
，直线也过定点.
综上所述，直线过定点.
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