Question

（理科）在空间中
（I）已知三点A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面积；
（Ⅱ）已知向量

a

=（2，-1，3），

b

=（-1，4，-2），

c

=（7，5，λ），若向量

a

，

b

，

c

共面，求实数λ之值．

Answer 1

考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直,空间两点间的距离公式,空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：（I）利用数量积的定义、向量的夹角公式可得cosA，进而点到sinA，再利用三角形的面积计算公式即可得出；
（II）利用向量共面基本定理即可得出．

解答： 解：（I）∵三点A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），
∴

AB

=（1，1，1），

AC

=（2，1，3），
∴

AB

•

AC

=2+1+3=6，|

AB

|=

3

，|

AC

|=

22+12+32

=

14

．
∴cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

6

3 × 14

=

14

7

．
∴sinA=

1-cos2A

=

35

7

．
∴△ABC的面积S=

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=

1

2

×

3

×

14

×

35

7

=

30

2

．
（Ⅱ）∵向量

a

，

b

，

c

共面，
∴存在唯一一对实数m，n使得

c

=m

a

+n

b

，
∴（7，5，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2）=（2m-n，-m+4n，3m-2n），
∴

2m-n=7 -m+4n=5 3m-2n=λ

，解得

m= 33 7 n= 17 7 λ= 65 7

，
∴λ=

65

7

．

点评：本题考查了数量积的定义、向量的夹角公式、同角三角函数基本关系式、三角形的面积计算公式、向量共面基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．